抽象代数自学笔记3：环与域

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环与域-更多内容

对于抽象代数来讲，由于群是最基础的结构，群部分的内容通常更加重要，环和域的很多内容都是在群的相关理论的基础上进行一些的更改、变形。

一些典型的环和域的例子有，环：整数环$Z$, 域$F$上的全体多项式集合 $F[x]$ 为环，域 $F$ 上的全体 $n*n$ 的矩阵为环。域：实数域$R$, 有理数域$Q$, 复数域$Z$.

I 环的同态与同构

由于相比于群多了加法运算，环的同态同构条件要强于群。如下：

定义1 同态and同构

设 $R$, $R’$ 是两个环，$\varphi$ 是 $R$ 到 $R’$ 的映射，如果：

  1. $\varphi$ 保持加法，即 $\forall x,y\in R$, 有 $\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y)$;

  2. $\varphi$ 保持乘法，即 $\forall x,y \in R$, 有 $\varphi(xy) = \varphi(x)\varphi(y)$,

  3. $\varphi(1_R) = 1_{R’}$.

则称 $\varphi$ 为环 $R$ 到环 $R’$ 的同态。若 $\varphi$ 还是双射，则称 $\varphi$ 为$R$ 到 $R’$ 的同构。称 $\varphi$ 是 域$F$ 到 域$F’$ 的同态（或同构），若它是 $F$ 和 $F’$ 作为环的同态（或同构）。

类似于群同态，对于环同态，我们也定义同态的象和核。

定义2 满同态and核

设 $\varphi$ 是环 $R$ 到 $R’$ 的同态，令：

$\varphi(R) = {\varphi(x)|x\in R}$

称为 $R$ 在 $\varphi$ 下的象，若 $\varphi(R) = R’$,则称为 满同态。令：

$Ker \varphi = {x\in R|\varphi(x) = 0\in R’}$,

称为 $R$ 在 $\varphi$ 下的核。

Note: 实际上，$Ker \varphi$ 是 $R$ 到 $R’$ 的环同态核，又$R$ 和 $R’$ 是加群，$\varphi$ 也是加群的同态，$Ker \varphi$ 也是加群同态的核。

定理：环同态基本定理

  1. $R,R’$ 是环，$\varphi$ 是 环$R$ 到 环$R’$ 的满同态。令 $K = Ker\varphi$, 则商环 $\frac{R}{K}$ 与环 $R’$ 同构。

Note: 类似群同态基本定理。

II 理想和商环

理想是环中类似于群中的正规子群的概念，但不同的是，环的理想会涉及到乘法、和加法两种运算。

定义1：理想

$R$ 是环，$S$ 是 $R$ 的加法子群，且 $\forall r\in R$ 有 $Sr\subseteq S$ 及 $rS\subseteq S$，则称 $S$ 为 $R$ 的一个理想。

定义2：商环

（接定义1）$\frac{R}{S} = {a + S|a\in R}$

$\frac{R}{S}$ 是一个环，称为 $R$ 对 $S$ 的商环。

例子

a. 任意环 $R$ 中，零元素构成的集合以及 $R$ 本身都是 $R$ 的理想;

b. 整数环 $Z$ 的全部理想为 $nZ, n = 0,1,2, …$ ;

c.若 $R$ 是交换环，$a\in R$,则 $aR$ 是 $R$ 的理想，称它为 $R$ 的 主理想，或说，是 $R$ 中由 $a$ 生成的理想，$aR$ 常记为 $(a)$。

d. 非交换环 $n\times n$ 的矩阵 $M_n(F)$ 的理想只有零元和其自身两个。

定义3: 极大理想环

设 $R$ 是环，$M$ 是 $R$ 的理想，但不等于 $R$, 对 $R$ 的任何包含 $M$ 的理想 $N$, 若 $N\neq M$, 则 $N = R$, 这是称 $M$ 为 $R$ 的极大理想。

定理

设 $R$ 是交换环，$K$ 是 $R$ 的理想， 则 $\frac{R}{K}$ 是域的充要条件是 $K$ 为 $R$ 的极大理想。

理解：通过极大理想，可以通过一个环构造出一个域。

III 典型环分析

a. 整数环

对于整数环 $Z$, 它的全部理想是 $(n) = nZ, n = 0,1,2,…$. 作商环：

$\frac{Z}{nZ} = { {\bar{0} = 0+nZ},\bar{1} = 1+nZ, … \overline{n-1} = (n-1) + nZ }$

它称为整数模n的剩余类的环。它是n个元素的交换环，也记为 $Z_n$.

整数环的理想

对于整数环的理想 $(n)$ 何时为极大理想, 有 定理：

$Z$ 的理想 $(n)$ 为极大理想的 充要条件 是 n 为素数。

进一步的，根据这一特性，可以利用该极大理想的商环得到一个域： $Z/(n)$.

整数模n的剩余类环

对于整数环的理想的商环：整数模n的剩余类环，有如下 定理：

设 $\bar{0} \neq \bar{k}\in Z_n$, 则 $\bar{k}$ 是 $Z_n$ 中乘法可逆元，当且仅当 $(k,n) = 1$. ($k,n$ 互素)

推论

$Z_n$ 中所有可逆元组成乘法群，它的阶是 $1,2, … ,n-1$ 中与 $n$ 互素的元素的数目，这一数目也称为 欧拉函数， 记为 $\varphi(n)$。

b. 多项式环

有 $F[x]$ 是域 $F$ 上的多项式环，$N$ 是 $F[x]$ 的非零理想，则有非零多项式 $m(x)$，使得 $N = m(x)F[x] =(m(x))$，即该理想是由非零多项式 $m(x)$ 生成的理想，也就是说，$F[x]$ 的每个理想都是主理想。

多项式环的极大理想

类似整环的极大理想，对于多项式环，有定理：

$F[x]$ 的理想 $(f(x))$ 是 $F[x]$ 的极大理想的充要条件是 $f(x)$ 为 $F[x]$ 中的不可约多项式。

Note: $F[x]$ 表示的是多项式；$F(x)$ 则表示的是多项式分式。

IV 环与域的关系

我们知道向整数环中添加元素的商，就可以得到有理数域，那么什么样的环有这样称为域的 “潜质”。我们有定义：

定义1：整环

设 $R$ 是非零元素的环，若它是交换环且无零因子，则称 $R$ 为 整环。整数环 $Z$, 域上多项式 $F[x]$ 都是整环。域也是整环。

整环可以拓展成域：定理1

设 $R$ 是整环，则有一个域 $F$, 它以 $R$ 为子环且 $F$ 中元素都是 $R$ 的元素的商。这个域 $F$ 称为 $R$ 的 分式域。

此外，整环还具有如下性质：定理2

设 整环$R_1$与$R_2$同构，他们分别有分式域 $F_1$ 与 $F_2$, 则$F_1$ 与 $F_2$ 是同构的域。也就是说整环 $R$ 的分式域在同构的意义下是唯一的。

V 域的扩张

域可以通过添加元素进行扩张，例如向实数域中添加 $i$ 得到了复数域。普遍的，我们定义 扩域：

定义1：扩域

令 $E$ 是域，$F\subset E$, 若 $F$ 在 $E$ 的运算下也成为域，则称 $F$ 为 $E$ 的 子域，而 $E$ 称为 $F$ 的 扩域。

进一步的，$E$ 是 $F$ 的扩域，$S\subset E$, 称域 $F(S)$ 为 $F$ 添加 $S$ 而成的 扩域。如果 $S$ 中仅有一个元素 $\alpha$, 我们称 $F(\alpha)$ 为单扩域。

Note:

$$F(S) = { \frac{f_1(a_1,a_2,…a_k)}{f_2(a_1,a_2,…a_k)}|\forall a_i\in S, f_i(x_1,x_2,…x_n)\in F(x_1,x_2,…x_k),f_2(a_1,a_2…a_k)\neq 0 }$$

域进行扩张后，我们用扩张次数来描述扩张的程度，有，

定义：扩张次数

设 $E$ 是 $F$ 的扩域，以 $[E:F]$ 表示 $E$ 作为 $F$ 上的线性空间的维数， 称为 $E$ 对 $F$ 的扩张次数。若 $[E:F] = \infty$, 则称为 无限次扩域，若 $[E:F] = n$, 则称为有限次（n次）扩域。

扩张次数有如下 定理：

设 $F\subset H\subset E$ 是域的扩张，则$[E:F] = [E:H][H:F]$.

（推论）若 $E,H,F$ 都是有限次扩张，则有： $[H:F] | [E:F]$

此外，我们还根据用于扩张的元素的特性，将扩张进行分类：

代数元与代数扩张： $F\subset E$ 为域扩张，$\alpha \in E$, 若$\alpha$ 是 $F$ 上某一非零多项式的根，则称 $\alpha$ 为 $F$ 上的 代数元。而 $F(\alpha)$ 称为 $F$ 上 单代数扩张。若 $E$ 中每个元都是 $F$ 上的代数元，则称 $E$ 是 $F$ 上 代数扩张。

超越元与超越扩张：若 $\alpha \in E$ 不是 $F$ 上代数元，则称为 $F$ 上 超越元，$F(\alpha)$ 称为 $F$ 上 单超越扩张。

例子：$\sqrt{2}$ 是 $Q$ (有理数域) 上代数元，$\pi, e$ 是 $Q$ 上超越元。

环与域思维导图