抽象代数自学笔记1：基础

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动机

首先说说外因，电力电子专业主要分为两个大的方向，第一是偏向硬件的方向，例如拓扑结构的更新，EMC问题的处理；另一个则是控制方向，包括电机控制，电池充电控制，新能源并网电流控制等。虽然说由于行业的特点，在偏强电领域，人们更加关注可靠性和稳定性，最为传统的PID算法仍然在工业中广泛使用，但对于学术研究而言，初等的传统控制早已经玩不出什么新鲜花样了，因此，更先进的一些现代控制算法大受学术界追捧。然而，控制理论作为数学领域的一个分支，在描述、研究多维动态系统的运动特性、稳定性的过程中，一定会使用到例如泛函分析，李群李代数等较为高级的数学工具。然而，这部分工具对于普通的工科学生来说通常是不具备的, 因此我一直希望有机会可以深入的研究一下这部分内容。

当然，对我自己而言，也一直希望能够沉下心来学习一些现代的数学工具，如龚昇老师（可以看看龚老先生的数学基础选讲）所讲，高级的东西，应该反而是更加简单的，因为它们常常是更高层次的总结与归纳。我相信通过学习更近代的一些数学，开拓自己的一些视野，可以给自己提供一些不同的思维角度。抽象代数，作为现代代数学的入门知识，虽然相对没有特别直接的应用，但作为很多后续知识的重要基础，我觉得还是非常有必要学习一下的。

最后，看了一篇介绍数学体系的文章，MIT牛人解说数学体系 感觉很不错，从一个工程人的角度宏观的看了一下当代的数学框架。我认为这种更加宏观的认识，对一个人顺利形成自己的知识体系非常重要。但在当下的高校教育中（尤其是工科），我们通常很少强调这种知识体系的形成，老师学生都太过被动的教与学，没有有意识的去把这些知识串联成一个框架。实际上，这种结构化、系统化的思维方法，无论在什么领域、行业都是非常重要的，所以也希望自己在以后的学习中多加注重这一点。

书籍选择

这次的学习对于书籍的选择太过匆忙，我首先是搜了b站上相关的课程视频，找到了石生明老师的近世代数课程（link）,然后找到了他对应的书籍 《近世代数初步》(石生明)，想着一般看视频一般看书的。但是在办公室看视频也不方便，视频时间也确实比较长，因此就仅看了书，我认为，这本书对于自学并不是十分友好。首先，书的章节安排顺序与教授的顺序是不同的（我看了前面几节课），讲课是从域的部分引出，但是书籍确是按照群、环域的顺序讲解（or 或许是我的书籍版本不对？）。此外，就是书比较短小精炼，这是国内书籍的好处，但是也相对的，对于理解的支撑内容相对较少，对于自学、初学者压力较大。因此，选择一本适合自己学习的书还是非常重要的。

基础介绍

抽象代数实际上研究的是一个 集合 + 运算规则 的代数系统，具体的，分为三个典型的代数结构：

域

域上面定义有两套运算规则，分别称为 “乘法” 和 “加法”，且域对于这些运算规则封闭。运算规则具有的特性具体定义如下：

  • 加法：
    • 交换律。
    • 结合律。
    • 零元素，使得 $a + 0 = a$.
    • 负元素，对于任意 $a\in F$ , 存在$b$，使得 $a + b = 0$。
  • 乘法：
    • 交换律。
    • 结合律。
    • 单位元素，1， $1a = a$;
    • 逆元素，对于集合中非零元素a，集合中一定有b，使得：$ab = 1$。
  • 乘法对加法的分配律。$a (b + c) = ab + ac$.

此外，对于域，它的上述零元素，负元素，单位元，逆元都唯一。且加法有消去律，乘法消去律需改为：$ab = ac$, 若 $a \neq 0$, 则 $b = c$。

环

类似于域，当我们把一个集合称之为环，它的上面也定义两套运算系统 “乘法” 和 “加法”，只是它的乘法相比域要弱一些，不一定满足交换律且元素不一定有逆元。环也对于这些运算封闭，具体的：

  • 加法：
    • 交换律。
    • 结合律。
    • 零元素，使得 $a + 0 = a$.
    • 负元素，对于任意 $a \in F$ , 存在b，使得 $a + b = 0$。
  • 乘法：
    • 结合律。
    • 单位元素，1， $1a = a$;
  • 乘法对加法的分配律（改）。$a (b + c) = ab + ac$ 及 $(b + c)a = ba + ca$.

注意：1- 环中不一定要多于两个元素，2- 环的乘法不要求满足交换律，3- 不一定对所有非零元素都有逆元素。例子：零环-环中只有一个元素0；全体n阶方阵。
对于环，它的零元素，负元素，单位元唯一。且有加法消去律，但乘法没有消去律。（例如矩阵：$AB = A0$, 0为0矩阵，不满足消去律）

此外，环上还定义有 零因子:

  • R 是环，$a\in R$ 且 $a \neq 0$,若有 $b\neq 0$, 使得 $ab = 0$ (或 $ba = 0$), 则称 a 是 R 中的一个左（或右）零因子。
  • 而域不存在零因子。

群

群是最为基本的一个代数结构，它在定义的集合上只有一个运算，称之为“乘法”，且对该运算封闭，它的乘法运算满足：

  • 乘法结合律。
  • 有单位元e，使得 ae = ea = a.
  • 有逆元素，对每个 $a\in G$，有$b\in G$，使得 ab = ba = e, 称b为a的一个逆元素。

对于群，它的单位元，逆元唯一；且它群满足乘法消去律。

此外，对于基础的群，添加或者去除一些群的运算性质，我们有一些其他的“群”:

  • 交换群：群 G 满足交换律时，称 G 为交换群，这是也可以把乘法运算记为加法，并称 G 为加法群。
  • 半群：非空集合 S 上的乘法满足结合律，则称为半群；
  • 幺半群：非空集合 S 上的乘法满足结合律，且有单位元，则称为幺半群。

对于群，环域更多的详细内容，会在系列 2，3中介绍。